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経路積分の生い立ち

今さら経路積分を知り、利用することに対した意味はない。それほど時は過ぎた。次にやらねばならないのは、その行間を丁寧に読み、生い立ちをさぐることで、新しいヒントが得られる。「あらすじ」からすべてがスタートしたように。それは多様な展開をはらんでいる。

「単一」光学スリット実験から、出口で干渉が見つかったのではない。「複数」のスリットから、入口においても干渉は見つかっていた。それはむしろ流体力学に先があり、確率を確率振幅として発見し得た理由である。通過点の事前と事後に振幅がある、それが「多孔理論」の精髄である。この振幅の概念は将来にも存在し得るだろうが、計算の方法はさらに全く別のものになるであろう。

すべての経路は寄与する。すべての経路は位相が違っていても同じように寄与している。ここから時間概念を必要としない「周期」性の概念が新たに発見される。これが量子力学的振幅である。ここに「時間に依存しないハミルトニアン」という特別な場合が重要であることが明かされる。古典力学とは違うエネルギー概念の登場である。

こうして運動量振幅は周期と断面積の概念で表示される。ここには「対称性」の有効利用が「グラフ理論」としてみられる。波動関数とはこの意味である。つまりエネルギー・時間の変換は、観測と演算子を含め、位相ではなく、「面の幾何学」となる。これが最小作用の原理である。

関数が長い時間間隔(多くの周期)に拡がっている場合、フーリエ変換においては一つの振動数が支配的になるのも「集合論位相幾何学」(コホモロジー)の特徴である。つまり断面積で表現する表現論は、単位体積当たりの確率よりも長所である。

 

キーワード:二重スリット実験 入口と出口 管 表面積 楕円関数

 

参考

新版「量子力学経路積分」   R・P・ファインマン A・R・ヒッブス  著